🎨 几何 · 表面积
给积木刷油漆，一共要刷几个面
📝 题目
用棱长为 2cm 的若干小正方体，按下图的规律在地面上搭建若干个几何体。每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层、……、第 n 层（n 为正整数）。
- (1) 搭建第④个几何体的小立方体的个数为多少？
- (2) 分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积。
- (3) 为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂 1cm² 需要油漆 0.2 克，求喷涂第 20 个几何体，共需要多少克油漆？
01先把积木挪一挪
题目图里，每一层都摆在下一层的正中间。拖一下滑块，把每一层往左后角推过去，一边推一边看「上面看」「正面看」两个小窗：露出来的面变没变？
- 为什么上面不变？上一层是叠在下一层顶上的。挪到哪，挡住下一层顶面的都是它自己那么大一块。所以从上往下看，永远是一整块 n × n。
- 为什么侧面不变？侧面只会被同一层挨着的积木挡住。上下两层是叠着的，不是并排挨着，挪一挪谁也挡不着谁。第 k 层每个方向还是露 k 个面。
- 那为什么要推到角上？露出来的面一个没多、一个没少，但推到角上以后，每个露出来的面都是完整的一格，数起来整整齐齐。下面就用这个摆法来刷。
02给积木刷油漆
这里用的是推到角上的摆法。拖滑块换第几个积木塔，再点油漆桶，把露在外面的面一个方向一个方向刷上。看不到的背面，点「转一转」绕过去看看。
第 ③ 个积木塔
已经刷了0 个小面
03看出门道了吗
不管是第几个积木塔，露出来的面都能分成这三块来数。
门道 1
从上往下看，正好是底层那么大
每一格从上往下看，都只能看到最上面那一块的顶。拼起来就是整个底层：第 n 个就是 n × n 个面。
门道 2
前后左右四个侧面，每面都是 1 + 2 + … + n
从前面看，一层一层是 1 个、2 个、3 个……排成台阶。后面、左面、右面也一样，所以侧面一共 4 × (1 + 2 + … + n)。最容易漏的：只算了一个侧面。
门道 3
贴地的底面不刷，每个小面 4 cm²
题目说不含底面。小正方体棱长 2cm，每个小面就是 2 × 2 = 4 cm²。先数出有几个面，再乘 4。
04轮到你啦
回到这道题。每一步先自己选，点下去才揭晓～